Métodos matemáticos de factorización y una aproximación por retroalimentación para sistemas biológicos

Abstract

"Esta tesis presenta los resultados originales que he obtenido durante los tres años de periodo doctoral en la División de Matemáticas Aplicadas y Sistemas Computacionales (DMASC) del Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica (IPICYT), en San Luis Potosí, México. Estos resultados se han obtenido bajo la supervisión y colaboración del Dr. Haret C. Rosu en lo referente a la primera parte de tesis, y del Dr. Ricardo Femat para la segunda parte. La primera parte trata con algunos métodos de factorización que fuimos capaces de desarrollar y que nos condujeron a soluciones particulares del tipo kink viajeras para ecuaciones de reacción-difusión y también para ecuaciones diferenciales no lineales más generales de interés en biología y física no lineal. Se aplicaron también técnicas de supersimetría en el contexto de dinámica biológica de microtúbulos y las propiedades de transporte asociadas a sus paredes de dominio. En adición, se desarrolló una extensión supersimétrica compleja del oscilador armónico clásico por el cual obtuvimos nuevos modos de oscilación; resultados que pueden extenderse a óptica física y la física de cavidades. Además, se desarrolló una aplicación a la fisico-química de moléculas diatómicas usando procedimientos de supersimetría y de factorización. La segunda parte contiene un estudio referente a sincronización de la dinámica caótica de dos neuronas Hodgkin-Huxley, en donde se han aplicado los métodos matemáticos pertenecientes a la teoría de control geométrico. Aunque se han utilizado diferentes parámetros para cada una de las dos neuronas, nuestro estudio muestra que se obtienen estados dinámicos de sincronización. La sincronización se logra por la estructura de retroalimentación de la interconexión (acoplamiento). Se muestran los resultados numéricos para los estados de dinámica neuronal obtenidos."

"This thesis presents the original results I have obtained during the threeyear doctoral period in the División de Matemáticas Aplicadas y Sistemas Computacionales (DMASC) of the Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica (IPICYT), in San Luis Potosí, México. These results have been obtained under supervision and collaboration of Dr. Haret C. Rosu in what refers to the first part of the thesis, and of Dr. Ricardo Femat for the second part. The first part deals with some types of factorization methods that we were able to develop and that lead us to particular solutions of travelling kink type for reactiondiffusion equations and also to more general nonlinear differential equations of interest in biology and nonlinear physics. We also applied supersymmetric approaches in the context of biological dynamics of microtubules and the related transport properties associated to their domain walls. In addition, a complex supersymmetric extension of the classical harmonic oscillator by which we obtain new oscillatory modes has been developed; results that could be extended to physical optics and the physics of cavities. Moreover, an application to chemical physics of diatomic molecules using supersymmetric and factorization procedures is developed. The second part contains a detailed study on the synchronization of the chaotic dynamics of two Hodgkin-Huxley neurons, by means of the mathematical tools belonging to the geometrical control theory. Despite using different parameters for each of the two neurons our analysis shows that synchronization states are achieved. The synchronization is attained by the feedback structure of the interconnection (coupling). Numerical results for the obtained neuronal dynamical states are displayed."