http://hdl.handle.net/11627/4 Sat, 04 Apr 2026 05:22:59 GMT 2026-04-04T05:22:59Z http://hdl.handle.net/11627/6755 Sistema Dinámico Caótico con un único punto de equilibrio inestable Vera Torres, Paulina Elizabeth "En esta tesis se aborda el problema de generar dinámica caótica mediante sistemas lineales conmutados que exhiben un único punto de equilibrio inestable. Para ello, se considera un sistema lineal afín definido en el espacio euclidiano , cuya evolución se encuentra sujeta a una partición dinámica del espacio en tres dominios, delimitados por planos de conmutación. Dichas superficies están definidas por planos paralelos al plano , cuya intersección con dicho plano corresponde a diámetros de una circunferencia centrada en el origen. Estos planos de conmutación se rotan dentro del plano , variando el ángulo entre el diámetro de intersección y el eje . Mediante la definición de las conmutaciones se da origen a puntos de equilibrio virtuales. Estos puntos de equilibrio virtuales juegan un papel esencial en la generación de comportamientos caóticos, ya que permiten confinar las trayectorias dentro de las variedades estables e inestables asociadas al punto de equilibrio inestable. Para asegurar la presencia de caos, se selecciona un operador lineal que garantiza que el sistema sea disipativo y que posea dinámicas inestables; es decir, se trabaja con un sistema disipativo inestable (UDS, por sus siglas en inglés). Los resultados obtenidos muestran que este campo vectorial, aun con un único punto de equilibrio real, posee al menos un conjunto invariante no trivial con sensibilidad a las condiciones iniciales. Este comportamiento se verifica mediante el cálculo del máximo exponente de Lyapunov positivo, la obtención de la cuenca de atracción y la construcción del plano de Poincaré, lo cual constituye evidencia clara de la existencia de caos en el sistema."; "This thesis addresses the problem of generating chaotic dynamics through switched linear systems that exhibit a single unstable equilibrium point. To this end, an affine linear system defined in the Euclidean space R3 is considered, whose evolution is subject to a dynamic partition of the space into three domains, delimited by switching planes. These switching surfaces are defined by planes parallel to the (x, z) plane, whose intersection with this plane corresponds to diameters of a circle centered at the origin. The switching planes are rotated within the (x, y) plane, varying the angle between the intersection diameter and the x-axis. Through this switching definition, the emergence of virtual equilibrium points is achieved. These virtual equilibrium points play an essential role in generating chaotic behavior, as they allow the trajectories to be confined within the stable and unstable manifolds associated with the unstable equilibrium point. To ensure the presence of chaos, a linear operator is selected such that the system is dissipative and exhibits unstable dynamics; that is, a Unstable Dissipative System (UDS) is employed. The results show that this vector field, even with a single real equilibrium point, possesses at least one nontrivial invariant set with sensitivity to initial conditions. This behavior is verified through the computation of a positive maximum Lyapunov exponent, the determination of the basin of attraction, and the construction of the Poincaré plane, clear evidence of the existence of chaos in the system." Tue, 10 Mar 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/11627/6755 2026-03-10T00:00:00Z http://hdl.handle.net/11627/6746 Estudio de Sistemas Isocronos de la Rosa de la Rosa, Alberto "En esta tesis se discute el fenómeno de isocronismo enfocado en mecánica celeste con énfasis en el problema de Kepler y sus extensiones paramétricas conocidas en la literatura como potenciales de Hénon. Recientemente, el problema de Kepler ha sido analizada del punto de vista de las álgebras de Lie (SGA, por sus siglas en inglés), sin embargo nuestros cálculos muestran que la aplicación del método SGA a los casos paramétricos de Hénon presenta inconsistencias. Dada la problemática de la metodología SGA para los casos de Hénon aplicamos el formalismo de sistemas dinámicos Hamiltonianos con los potenciales efectivos (incluso el de Kepler) aproximados alrededor de sus mínimos a través de sus series de Taylor truncadas. Nuestros resultados muestran que el isocronismo se manifiesta con una precisión al cuarto dígito alcanzada en el sexto orden de la expansión de Taylor de estos potenciales."; "This thesis discusses the phenomenon of isochronism in celestial mechanics, focusing on Kepler’s problem and its parametric extensions known in the literature as H´enon potentials. Recently, Kepler’s problem has been analyzed from the perspective of Lie algebras (SGAs); however, our calculations show that applying the SGA method to the parametric cases of H´enon presents inconsistencies. Given the problems with the SGA methodology for the H´enon cases, we applied the formalism of Hamiltonian dynamical systems with the effective potentials (including Kepler’s) approximated around their minima through their truncated Taylor series. Our results show that isochronism manifests itself with a precision to the fourth digit, achieved in the sixth order of the Taylor expansion of these potentials." Wed, 04 Feb 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/11627/6746 2026-02-04T00:00:00Z http://hdl.handle.net/11627/6744 Estudio de hélices y estructuras clotoidales utilizando sus parámetros intrínsecos Lemus Basilio, Paola "En este trabajo de tesis se aborda la caracterización de las curvas que denominamos clotoidales en el espacio euclidiano tres dimensional por medio del método de Lie-Darboux. En este método cualquier curva espacial se puede obtener a partir de una ecuación de Riccati, que es una ecuación no lineal de primer orden cuyos coeficientes κ y τ son los parámetros intrínsecos de curvatura y torsión, respectivamente, de la curva espacial. Si la ecuación de Riccati tiene una solución general analítica, las ecuaciones paramétricas de la curva se pueden obtener siguiendo los pasos del método. En el caso de las hélices clotoidales esto es posible ya que la curvatura y la torsión son proporcionales a la longitud de arco. También se considera el problema de la ambigüedad en el signo de la torsión para curvas en tres dimensiones. El signo de la torsión no puede definirse a partir de las ecuaciones paramétricas de una curva, se define solo al encontrarse la ecuación diferencial de Riccati asociada a estas curvas."; "This thesis addresses the characterization of curves called clothoid type in three-dimensional Euclidean space using the Lie-Darboux method. In this method, any spatial curve can be obtained from a Riccati equation, which is a first-order nonlinear equation with the coefficients κ and τ that represent the intrinsic parameters, curvature and torsion, respectively, of the spatial curve. If the Riccati equation has a general analytical solution in rational form, the parametric equations of the curve can be obtained by following the steps of the method. In the case of clothoidal helices this is posible because both curvature and torsion are proportional to the arc length. Moreover, weconsider theproblemofambiguityinthesignoftorsionofthreedimensional curves. The sign of torsion cannot be defined from the parametric equations of a curve; it is defined only by finding the associated Riccati equation of the curves." Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/11627/6744 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/11627/6739 Análisis Dinámico del Juego del Bien Común Evolutivo en Redes Complejas González Morales, Martín Andrés "La cooperación es un fenómeno esencial en sistemas sociales y biológicos, pero su sos tenimiento resulta desafiante en contextos donde los individuos enfrentan incentivos para actuar de manera egoísta. El juego del bien común constituye un modelo fundamental para estudiar este dilema, al capturar la tensión entre el beneficio individual y el bienestar colec tivo. En esta tesis se desarrolla un modelo matemático del juego del bien común evolutivo en poblaciones estructuradas mediante redes complejas, incorporando mecanismos de exclusión social como posibles vías para sostener la cooperación. El modelo se construye a partir de una aproximación por clases de nodos, que simplifica la estructura de la red al agrupar a los individuos según su conectividad. Los resultados obtenidos se contrastan con simulaciones numéricas basadas en agentes. Los hallazgos principales muestran que el modelo reproduce cualitativamente la dinámi ca observada en las simulaciones en escenarios sin exclusión y con exclusión, identificando correctamente las condiciones bajo las cuales la cooperación se sostiene o desaparece. En el caso de la exclusión de primer orden, el modelo captura únicamente la fase inicial de la di námica, lo cual se atribuye a la diferencia entre el supuesto de redes infinitamente grandes y las simulaciones en redes finitas. Este resultado revela que el tamaño de la población influye de manera significativa en la eficacia de los mecanismos de cooperación. Ensíntesis, la aproximación por clases de nodos ofrece una herramienta útil para estudiar dinámicas evolutivas en poblaciones estructuradas, al proporcionar predicciones cualitativas sobre el destino de las estrategias. Aunque no garantiza precisión exacta, sí permite identifi car de forma clara las condiciones bajo las cuales la cooperación puede prevalecer, aportando así un marco simplificado y aplicable al análisis de dilemas sociales en sistemas reales."; "Cooperation is an essential phenomenon in social and biological systems, but its maintenance becomes challenging in contexts where individuals face incentives to behave selfishly. The public goods game provides a fundamental framework to study this dilemma, as it captures the tension between individual benefit and collective welfare. This thesis develops a mathematical model of the evolutionary public goods game in structured populations represented by complex networks, incorporating social exclusion mechanisms as potential ways to sustain cooperation. The model is built using a degree-based approximation, which simplifies the network structure by grouping individuals according to their connectivity. The theoretical results are contrasted with agent-based numerical simulations. The main findings show that the model qualitatively reproduces the dynamics observed in simulations, both in scenarios with and without exclusion, correctly identifying the conditions under which cooperation is sustained or vanishes. In the case of first-order exclusion, the model captures only the initial phase of the dynamics, which is attributed to the difference between the assumption of infinitely large networks and the simulations carried out on finite networks. This result highlights that population size plays a significant role in the effectiveness of cooperation mechanisms. In summary, the degree-based approximation provides a useful tool to study evolutionary dynamics in structured populations, offering qualitative predictions about the fate of strategies. While it does not guarantee exact precision, it clearly identifies the conditions under which cooperation can prevail, thus providing a simplified and applicable framework for the analysis of social dilemmas in real systems." Wed, 01 Jan 2025 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/11627/6739 2025-01-01T00:00:00Z