Vertical transversality and its applications to control of mechanical systems

Abstract

"The transverse control approach proposed by Morin and Samson is a technique based on the use of transverse functions to practically stabilize controllable driftless systems. This control technique is able to cope with practical stabilization of admissible trajectories, including fixed points, as well as practical stabilization of non-admissible trajectories. In this thesis we attempt to generalize this technique to the control of second-order systems and, in particular, to the case of mechanical systems described on Lie groups. Within this class one finds mechanical systems subjects to (holonomic and non-holonomic) constraints as well as underactuated mechanical systems. It is important to note that for systems in this class, the drift vector field is required along with the control vector fields to generate the accessibility distribution. We define vertical transversality and we show how transverse functions satisfy vertical transversality, a property that generalizes transversality to second-order systems. By applying the methodology introduced in this thesis to second-order systems one achieves practical stabilization of the configuration variables, namely one ensures that the projection of the state trajectories onto the configuration manifold converge to an arbitrarily small neighborhood, specified in advance, of the desired equilibrium point. Although the approach outlined in this thesis does not constitute a complete extension of Morin and Samson’s approach based on transverse functions, it takes initial steps toward what might constitute an interesting theory for the stabilization of admissible trajectories for second-order systems."

"La aplicación de la técnica de control por medio de funciones transversas propuesta por Morin y Samson a sistemas controlables sin derivada como resultado una estabilización práctica de las trayectorias del sistema. Esta técnica trata con estabilización práctica de puntos fijos, trayectorias admisibles e inclusive trayectorias no admisibles. En esta tesis se generaliza la noción de transversalidad para sistemas de segundo orden y se plantea el desarrollo de un método de control para estabilizar sistemas de segundo orden, en particular para sistemas mecánicos que evolucionan en grupos de Lie. Dentro de esta clase de sistemas se encuentran sistemas mecánicos sujetos a restricciones (holonómicas y no holonómicas) como también sistemas mecánicos subactuados. Es importante notar que en esta clase de sistemas el término de deriva se requiere, junto con los campos vectoriales de control, para generar la distribución de accesibilidad. En esta disertación se define transversalidad vertical y se muestra cómo las funciones transversas definen funciones verticalmente transversas. Se presenta además un esquema de control para estabilizar sistemas de segundo orden en grupos de Lie usando funciones verticalmente transversas. Este método asegura estabilización práctica de las variables de configuración del sistema, es decir, la proyección de las trayectorias del sistema a la variedad de configuración converge a una vecindad arbitrariamente pequeña del punto deseado de equilibrio. El esquema expuesto, aún cuando no resuelve por completo el problema de estabilización práctica para sistemas de segundo orden, se presenta como el punto de partida de un esquema que podría llegar a constituir una teoría interesante para la estabilización de trayectorias admisibles para sistemas de segundo orden."