Estudio de transiciones de fase en redes con interacciones de largo alcance.

Abstract

"Las interacciones de largo alcance son de gran relevancia en muchas de las fuerzas existentes en la naturaleza. Algunos ejemplos de este tipo de interacciones son las electrostáticas y las fuerzas de polarización. Podemos identificar más de un tipo de interacción de largo alcance. Por un lado están las interacciones cuya magnitud decae en función de la distancia. Por otro lado, en algunos sistemas es más importante la conectividad que la magnitud de la interacción. En estos sistemas la magnitud de la interacción puede ser constante pero no todos los sitios están conectados entre sí. Ejemplos de estos sistemas son: las propiedades magnéticas y de conducción de cadenas poliméricas, redes neuronales, la dispersión del fuego y la propagación de enfermedades. Una buena forma de representar sistemas de este tipo es mediante las redes con interacciones de largo alcance donde la probabilidad de formar enlaces decrece con la distancia (redes LRDP). Las redes LRDP 1D se construyen a partir de una cadena lineal, a la cual se le añaden enlaces de largo alcance de acuerdo a la probabilidad pij ∝ r−α ij de formar enlaces de largo alcance entre los sitios i y j separados por una distancia rij . En estas redes, los valores grandes del parámetro de estructura α favorecen los enlaces entre sitios separados a la menor distancia posible. En esta tesis se estudian las transiciones de fase magnéticas de las redes LRDP 1D, en el contexto del modelo de Potts. Se aprovecha la estructura de las redes LRDP para estudiar el efecto de las interacciones de largo alcance en sistemas magnéticos. Para el desarrollo de la tesis se utilizó un método de Monte Carlo (el algoritmo de Wolff), aplicado a redes LRDP 1D. El algoritmo es eficaz en el estudio de transiciones de fase. Para distinguir el orden de la transición y determinar la temperatura crítica, se analizó el histograma de energías y el cumulante de Binder de cuarto orden de la magnetización. Con el fin de mejorar la precisión de algunos datos obtenidos de las simulaciones numéricas, se utilizó la técnica de extrapolación de Ferrenberg-Swendsen. En el caso de las transiciones de primer orden, se analizó el comportamiento del calor latente. Se estudiaron los casos q = 2 (Ising) y q = 3 del modelo de Potts. Se determinó el orden de la transición de fase y se estimó la temperatura crítica."

"Long range interactions are important in many natural systems. Some examples of this kind of interactions are the electrostatic and polarization forces. We can identify more than one type of long range interactions. On one side are interactions in whose intensity decays as a function of the distance. On the other side, in some systems the connectivity is more important than the interaction intensity. In these systems the magnitude of the interaction can be constant but not all pairs of sites are connected. Examples of these systems are: the magnetic and conduction properties of polymeric strings, neural networks, propagation of fire and disease. A good representation of these systems are the Long Range Decaying Probabilities networks (LRDP). The LRDP 1D networks are generated from a lineal string, then long range links are added with probability pij ∝ r−α ij , where pij is the probability of adding a long range link between the sites i and j, separated by the distance rij . In these networks, large values of the structureparameter α generate links between sites separated by the smallest distance possible, while small values of α generate random graphs. In this thesis we study the magnetic phase transitions of networks LRDP 1D, in the context of the Potts model. We take advantege of the LRDP network’s structure to study the effect of the long range interactions on magnetic systems. For the development of the thesis we used a Monte Carlo method (the Wolff algorithm), applyied to LRDP 1D. The algorithm was efficient in the study of phase transitions. In order to distinguish the order of the transition and determine the critical temperature, we analized the histogram of energy and the Binder fourth order cumulant of magnetization. With the purpose of improving the data obtained from the Monte Carlo simulation, the Reweighting technique was used. In the case of first order transitions, the behaviour of the latent heat was analyzed."