Análisis local de modelos de tercer y cuarto orden de quimiostatos

Abstract

"En este trabajo se muestran los resultados del análisis de estabilidad y bifurcaciones locales de tres modelos en ecuaciones diferenciales ordinarias de biorreactores. El análisis de bifurcación se llevó a cabo con respecto del parámetro tasa de dilución, pues es una de las entradas que se manipula con mayor facilidad y es la más usada. Las bifurcaciones que exhiben los puntos de equilibrio son la nodo-silla, la transcrítica y la de Hopf, ésta última de ser del tipo supercrítica implica oscilaciones sin amortiguamiento. Para el modelo de tercer orden, se determinó una expresión dependiente de los parámetros del sistema que sirve de criterio de estabilidad de los puntos de equilibrio operacionales nones del mismo. En específico, si el signo de dicha expresión es negativo, entonces el punto de equilibrio es estable, en caso contrario cuando el signo es positivo el punto es inestable y resulta no hiperbólico si la expresión es igual a cero. Además se demostró que los puntos de equilibrio pares son inestables y que se pueden suscitar tres tipos de bifurcaciones locales, la transcrítica, la nodo-silla y la de Hopf, dependiendo éstas dos últimas también del criterio de estabilidad. Además se utilizó el criterio para determinar la estabilidad local del máximo de productividad. El segundo modelo, que es de cuarto orden, tiene a lo más cinco puntos de equilibrio y al menos uno; además, puesto que existen dos especies de microorganismos en el reactor que pueden crecer a distintos ritmos, entonces hay tres modos de operación mutuamente excluyentes: lavado de la biomasa 1, lavado de la biomasa 2 y coexistencia. Los primeros dos modos de operación tienen a lo más dos puntos de equilibrio operacionales, mientras que el tercero hasta cuatro. Del análisis de bifurcaciones locales, se demostró que los puntos de equilibrio presentan bifurcaciones del tipo transcrítica y nodo-silla, pero las condiciones para la bifurcación de Hopf no se cumplen. Del análisis de bifurcación del tercer sistema, modelo adimensional de cuarto orden estructurado en biomasa, fueron obtenidas expresiones matemáticas para el valor de tasa de dilución al cual el punto de equilibrio operacional es no hiperbólico y para la tasa de cruce por el eje imaginario de los valores propios complejos conjugados con respecto a la tasa de dilución, ambas en función de los parámetros del sistema. Se demostró que sólo existe un punto Hopf y que la tasa de cruce es negativa, por tanto existe una bifurcación de Hopf del punto de equilibrio operacional, el cual pasa de inestable a estable conforme aumenta el valor de la tasa de dilución. Simulaciones numéricas fueron comparadas con datos experimentales colectados en línea de un biorreactor continuo de tanque agitado instrumentado."

"In this thesis local stability and bifurcation analysis results of three bioreactor models in ordinary differential equations are shown. The bifurcation analysis was carried out with respect to the dilution rate parameter, since it is a manipulable input and the most commonly used. The bifurcation suffered by the equilibrium points are the transcritical, the saddle-node and the Hopf ones, if this last is supercritical implies undamped oscillations.

For the first model, of third order, it was determined a system parameter dependent expression which serves as a stability criterion for the odd equilibrium points. In specific, if the sign of that expression is negative, then the equilibrium point is stable, being unstable if the sign is positive, and non-hyperbolic if the expression is equal to zero. In addition, it was demonstrated that the even equilibrium points are unstable and that the equilibrium points could suffer three types of local bifurcations: the transcritical, the saddle-node, and the Hopf ones, this two last depending on the stability criterion. Furthermore, that criterion is used to determine the productivity maximum local stability.

The second model, of fourth order, has at most five equilibrium points and at least one; additionally, since there are two microorganism species into the reactor which could growth at different rates, then there are three operation modes mutually exclusives: biomass 1 washout, biomass 2 washout, and coexistence. The first two operational modes have at most two operational equilibrium points, while the third up to four. With the local bifurcation analysis, it was demonstrated that the equilibrium points suffer transcritical and saddle-node bifurcations, but the Hopf bifurcation conditions are not satisfied.

From the local bifurcation analysis of the third system, a biomass structured dimensionless model of fourth order, a pair of mathematical expressions were obtained, one for the dilution rate value at which the operational equilibrium point is not hyperbolic and another for the imaginary axis cross rate of the complex conjugated eigenvalues with respect to the dilution rate, both in function on the system parameters. It was demonstrated that there is just one Hopf point and the cross rate is negative, thus a Hopf bifurcation on the operational equilibrium point exists, which pass from unstable to stable with the dilution rate value increasing. Numerical simulations were compared with experimental data collected in line from an instrumented continuous stirred tank bioreactor."