Non-alternating knots: alternation and dealternating numbers

Abstract

"In this thesis we give formulae to obtain the HOMFLY-PT polynomial of certain oriented 3-tangles and links formed by the closure of them. Also we show formulae for the Conway-Alexander polynomial. We propose a construction to form non-alternating links and give a condition over this construction to obtain only knots. For this construction, the formulae for Conway-Alexander polynomial are explicit and non-recursive. Hence these formulae are easy to implement. The families of the constructed knots contain the first non-alternating knots: 8_19, 8_20, 8_21, 9_42. Furthermore, by using the Alexander polynomial, some infinite families of non-alternating prime knots, which have alternation number equal to one are given. More specifically, these knots with one crossing change yield 2-bridge knots or the trivial knot. Furthermore, the knots are hyperbolic except for the only two torus knots with alternation number one: 8_19 and 10_124. On the other hand, for each positive integer n we will prove, by using Khovanov homology, that a family of infinitely many hyperbolic prime knots has alternation number 1, dealternating number equal to n, braid index equal to n+3 and Turaev genus equal to n."

"En esta tesis proponemos fórmulas para obtener el polinomio HOMFLY-PT de ciertos 3- ovillos orientados y de enlaces formados con estos 3-ovillos. También mostramos fórmulas para los polinomios de Conway y Alexander. Proponemos una construcción para formar enlaces no alternantes y damos una condición en esta construcción para obtener nudos. Las fórmulas de Conway y Alexander son explícitas y no recursivas, por lo que son fáciles de implementar. Las familias contienen los primeros nudos no alternantes: 819, 820, 821, 942. Además, mostramos familias infinitas de nudos primos con número de alternancia igual a uno. Más específicamente estos nudos después de un cambio de cruce se vuelven nudos de dos puentes o el nudo trivial. Además, los nudos son hiperbólicos excepto por los dos únicos nudos tóricos con número de alternancia uno, que son 819 y 10124. Por otra parte, para cada entero positivo n probaremos, usando homología de Khovanov, que existe una familia infinita de nudos hiperbólicos primos con número de alternancia igual a uno, número de dealternancia igual a n, índice de trenza igual a n+3 y genero de Turaev igual a n. Palabras clave: Nudos no alternantes, invariantes polinomiales, número de alternancia, número de dealternancia."