Cotas en la rapidez de convergencia en el Teorema Ergódico de Birkhoff en sistemas dinámicos simbólicos con medida de Gibbs.

Abstract

El teorema ergódico de Birkhoff es uno de los principales resultados de la teoría ergódica y en general de los sistemas dinámicos. El teorema establece condiciones suficientes para la existencia del límite del promedio temporal de funciones medibles. Además, bajo la hipótesis de ergodicidad de la medida, el teorema establece también que el promedio temporal converge casi ciertamente al promedio espacial. Sin embargo, el teorema no dice nada acerca de la rapidez a la que se produce dicha convergencia. En esta tesis estamos interesados en obtener estimaciones de esta rapidez de convergencia en sistemas dinámicos simbólicos cuya medida invariante es una medida de Gibbs. Buscamos dar estas estimaciones en forma de cotas superiores para la probabilidad de desvío y para el desvío casi cierto.

The Birkhoff Ergodic Theorem is one of the main results in Ergodic Theory and in general, in dynamical systems. The theorem establishes sufficient conditions for the existence of the limit of time average of measurable functions. Moreover, under the assumption of ergodicity of the measure, the theorem also states that time average converges almost surely to the space average. However, it does not say anything about the rate at which this convergence takes place. In this thesis we are interested in finding estimates of this rate of convergence for symbolic dynamical systems whose invariant measure is a Gibbs measure. We give these estimates in form of upper bounds for the probability of deviation and also for the almost sure deviation. Regarding the rate of convergence of the probability of deviation, we take as starting point the results in [1], [2] and [3]. Regarding the rate of convergence of the almost sure deviation, we take as starting point the results in [11] and [12]. By using these results, we obtain estimates applicable to functions that are not necessarily H¨older continuous but that satisfy H¨older condition locally.