Design of piecewise linear chaotic maps and their application in pseudorandom number generation

Abstract

"En esta tesis se explora el concepto y la aplicación de mapeos lineales por partes (PWL, por su sigla en inglés) en el campo de la criptografía, específicamente en la obtención de generadores de números pseudoaleatorios (PRNG, por su sigla en inglés). Estos mapeos, tanto con puntos fijos como sin ellos, exhiben comportamiento caótico, el cual es verificado a través del uso de exponentes de Lyapunov y del empleo de diagramas de bifurcación. Para un mapeo en particular, se demuestra su dinámica caótica mediante la definición de caos de Devaney. Posteriormente, dicho mapa caótico se implementa en un dispositivo electrónico llamado Field Programmable Gate Array (FPGA por su sigla en inglés) con el objetivo de demostrar la factibilidad de reproducir experimentalmente el caos en un mapa que teóricamente exhibe comportamiento caótico. Al comparar estos mapas con otros mapas unidimensionales conocidos, mostramos que al realizar ciertos ajustes a los mapas lineales por partes originales se pueden mejorar sus propiedades caóticas, resultando en dinámicas más complejas y con una distribución más cercana a una distribución uniforme respecto al mapeo original y a los mapeos comparados, la cuál es una propiedad importante para obtener generadores de números pseudoaleatorios. Reconociendo el papel significativo de los sistemas caóticos discretos en la criptografía, empleamos estos mapeos caóticos mejorados para desarrollar varios PRNG's. Finalmente, la seguridad criptográfica de estas secuencias pseudoaleatorias se evalúa a través del conjunto de pruebas del NIST, complementado con las pruebas de seguridad: autocorrelación, correlación, entropía, espacio de llave y sensibilidad de la llave, lo cual permite fortalecer el proceso de evaluación."

"This thesis explores the concept and application of Piecewise linear (PWL) maps in the field of secure cryptography, specifically targeting the creation of Pseudorandom Number Generators (PRNG’s). These PWL maps, with and without fixed points, manifest chaotic dynamics. The verification of this chaotic behaviour is accomplished through the utilization of Lyapunov exponents and the implementation of bifurcation diagrams. A specific map within this study is subjected to an analysis of its chaotic dynamics, following Devaney’s definition of chaos. This specific chaotic map is subsequently imple mented on a Field Programmable Gate Array (FPGA), an electronic device, aiming to show case the feasibility of experimentally replicating chaos in a map that theoretically exhibits chaotic characteristics. Upon comparing these PWL maps with other well-known one-dimensional maps, we demonstrate that subtle adjustments to the original PWL maps can significantly enhance their chaotic properties. This results in the evolution of more complex dynamics and an improved distribution compared to the original and the comparative maps. Recognizing the pivotal role of discrete chaotic systems in cryptography, we leverage these enhanced chaotic maps to develop a series of pseudorandom number generators. Finally, a rigorous evaluation of the cryptographic security of these pseudorandom sequences is conducted using the NIST test suite, further bolstered with supplementary security tests, ensuring a robust evaluation process."