Central Limit Theorem for a Class of Contractive Random Dynamical Systems and Critical Behavior in Connected Dynamical Systems

Abstract

"In this thesis we use the spectral method to prove a Central Limit Theorem (CLT) for a class of contractive random dynamical systems. In this method, we start from the existence of a complex normed space in which the Perron-Frobenius operator has the spectral property known as “quasicompactness”. Then, we define a new operator as analytical perturbation of the Perron-Frobenius operator and use “Perturbation Theory” to show that this new operator has the same spectral properties than the Perron-Frobenius operator. Finally, we write the characteristic function of the random variable of interest in terms of the iterations of the perturbed operator and we apply Lèvy Theorem to show convergence to a normal distribution. Mainly, our study is based on the recent results of reference [61] where the authors show qua- sicompactness of the pushforward measure in a class of contractive Random Dynamical Systems. These systems can be seen as a skew product transformation in which the base is a subshift of finite type and whose corresponding Perron-Frobenius operator is quasicompact. For the application of the Spectral Method, we extended this result of quasicompactness of the pushforward measure, so that it remains true on a normed vector space of complex measures. Additionally, we obtain an upper bound for the speed of convergence on the Central Limit Theorem commonly known as Berry-Esseen inequality. Also, we numerically illustrate this result using a contractive Random Dynamical System on the interval and an Iterated Function System (IFS). In the final part of this thesis, we also study a prototype of dynamical system formed by a family of maps in the interval for which, in each iteration, one of these maps is selected through a deterministic dynamics that depends on the maps that was selected in the previous iteration and the value of the iteration. We focus on the case of two maps connected through holes on the space state. More specifically, the dynamics is the following: we iterate map T1 until the value of the iteration falls in the hole H1. When this happens, we select the map T2 and continue iterating this map until the value of the iteration falls in H2. When this happens, we iterate the map T1 again and continue applying the same rules to change maps. For these type of systems, we numerically explore critical behaviors such as the appearance of periodic cycles or induced order."

"En esta tesis usamos el método espectral para probar un «teorema de límite central» para una clase de sistemas dinámicos aleatorios contractivos. En este método se parte de la existencia de un espacio normado complejo en el que el operador de Perron-Frobenius tiene la propiedad espectral conocida como «quasicompacidad». Posteriormente, se define un nuevo operador mediante una perturbación analítica del operador de Perron-Frobenius y se utiliza teoría de perturbaciones para mostrar que este nuevo operador tiene las mismas propiedades espectrales que el operador de Perron-Frobenius. Finalmente, se expresa la función característica de la variable aleatoria de interés en términos de las iteraciones del operador perturbado y se aplica el teorema de Lèvy para mostrar la convergencia a una distribución normal. Principalmente, nos basamos en los resultados de la referencia [61] en el que se muestra la quasicompacidad de la medida pushforward en una clase de sistemas dinámicos aleatorios que son contractivos. Estos sistemas pueden verse como una transformación en un producto cartesiano en los que la base es un subshift de tipo finito y cuyo operador de Perron-Frobenius correspondiente es quasicompacto. Para la aplicación del método espectral, extendemos este resultado de la quasicompacidad de la medida pushforward, de forma que siga siendo válido en un espacio vectorial normado de medidas complejas. Además, obtenemos una cota para la rapidez de convergencia en el Teorema de Límite Central conocida comúnmente como desigualdad de Berry-Esseen. También ilustramos numéricamente el resultado utilizando un mapeo aleatorio contractivo en el intervalo y un sistema de funciones iteradas (SFI). Enla parte final de la tesis, estudiamos también un prototipo de un sistema dinámico formado por una familia de mapeos en el que, en cada iteración, se selecciona uno de estos mapeos mediante una dinámica determinista que depende del mapeo seleccionado en la iteración previa y del valor de la iteración. Nos enfocamos principalmente en el caso de dos mapeos conectados mediante huecos en el espacio fase. Más específicamente, la dinámica es la siguiente: se itera el mapeo T1 hasta que el valor de la iteración caiga en el hueco H1. Cuando esto suceda, se selecciona el mapeo T2 y se continúa iterando este mapeo hasta que el valor de la iteración caiga en el hueco H2. Cuando esto suceda, volvemos a iterar el mapeo T1 y seguimos aplicando las mismas reglas para cambiar de mapeo. Para este tipo de sistemas, exploramos numéricamente comportamientos críticos como la aparición de ciclos periódicos y orden inducido."