Estudio de hélices y estructuras clotoidales utilizando sus parámetros intrínsecos

Abstract

"En este trabajo de tesis se aborda la caracterización de las curvas que denominamos clotoidales en el espacio euclidiano tres dimensional por medio del método de Lie-Darboux. En este método cualquier curva espacial se puede obtener a partir de una ecuación de Riccati, que es una ecuación no lineal de primer orden cuyos coeficientes κ y τ son los parámetros intrínsecos de curvatura y torsión, respectivamente, de la curva espacial. Si la ecuación de Riccati tiene una solución general analítica, las ecuaciones paramétricas de la curva se pueden obtener siguiendo los pasos del método. En el caso de las hélices clotoidales esto es posible ya que la curvatura y la torsión son proporcionales a la longitud de arco. También se considera el problema de la ambigüedad en el signo de la torsión para curvas en tres dimensiones. El signo de la torsión no puede definirse a partir de las ecuaciones paramétricas de una curva, se define solo al encontrarse la ecuación diferencial de Riccati asociada a estas curvas."

"This thesis addresses the characterization of curves called clothoid type in three-dimensional Euclidean space using the Lie-Darboux method. In this method, any spatial curve can be obtained from a Riccati equation, which is a first-order nonlinear equation with the coefficients κ and τ that represent the intrinsic parameters, curvature and torsion, respectively, of the spatial curve. If the Riccati equation has a general analytical solution in rational form, the parametric equations of the curve can be obtained by following the steps of the method. In the case of clothoidal helices this is posible because both curvature and torsion are proportional to the arc length. Moreover, weconsider theproblemofambiguityinthesignoftorsionofthreedimensional curves. The sign of torsion cannot be defined from the parametric equations of a curve; it is defined only by finding the associated Riccati equation of the curves."