Sistema Dinámico Caótico con un único punto de equilibrio inestable

Abstract

"En esta tesis se aborda el problema de generar dinámica caótica mediante sistemas lineales conmutados que exhiben un único punto de equilibrio inestable. Para ello, se considera un sistema lineal afín definido en el espacio euclidiano , cuya evolución se encuentra sujeta a una partición dinámica del espacio en tres dominios, delimitados por planos de conmutación. Dichas superficies están definidas por planos paralelos al plano , cuya intersección con dicho plano corresponde a diámetros de una circunferencia centrada en el origen. Estos planos de conmutación se rotan dentro del plano , variando el ángulo entre el diámetro de intersección y el eje . Mediante la definición de las conmutaciones se da origen a puntos de equilibrio virtuales. Estos puntos de equilibrio virtuales juegan un papel esencial en la generación de comportamientos caóticos, ya que permiten confinar las trayectorias dentro de las variedades estables e inestables asociadas al punto de equilibrio inestable. Para asegurar la presencia de caos, se selecciona un operador lineal que garantiza que el sistema sea disipativo y que posea dinámicas inestables; es decir, se trabaja con un sistema disipativo inestable (UDS, por sus siglas en inglés). Los resultados obtenidos muestran que este campo vectorial, aun con un único punto de equilibrio real, posee al menos un conjunto invariante no trivial con sensibilidad a las condiciones iniciales. Este comportamiento se verifica mediante el cálculo del máximo exponente de Lyapunov positivo, la obtención de la cuenca de atracción y la construcción del plano de Poincaré, lo cual constituye evidencia clara de la existencia de caos en el sistema."

"This thesis addresses the problem of generating chaotic dynamics through switched linear systems that exhibit a single unstable equilibrium point. To this end, an affine linear system defined in the Euclidean space R3 is considered, whose evolution is subject to a dynamic partition of the space into three domains, delimited by switching planes. These switching surfaces are defined by planes parallel to the (x, z) plane, whose intersection with this plane corresponds to diameters of a circle centered at the origin. The switching planes are rotated within the (x, y) plane, varying the angle between the intersection diameter and the x-axis. Through this switching definition, the emergence of virtual equilibrium points is achieved. These virtual equilibrium points play an essential role in generating chaotic behavior, as they allow the trajectories to be confined within the stable and unstable manifolds associated with the unstable equilibrium point. To ensure the presence of chaos, a linear operator is selected such that the system is dissipative and exhibits unstable dynamics; that is, a Unstable Dissipative System (UDS) is employed. The results show that this vector field, even with a single real equilibrium point, possesses at least one nontrivial invariant set with sensitivity to initial conditions. This behavior is verified through the computation of a positive maximum Lyapunov exponent, the determination of the basin of attraction, and the construction of the Poincaré plane, clear evidence of the existence of chaos in the system."