El polinomio corchete en 4-trenzas

Abstract

"Un n-ovillo es una pareja (B3;T) donde B3 es la bola unitaria en R3 y T es un conjunto de n arcos propiamente encajados en B3. Un n-ovillo es llamado racional si, incluso moviendo B3, puede ser deformado en un n-ovillo que posee una proyección en donde sus cuerdas no tienen ningun cruce. Las n-trenzas son un subconjunto de los n-ovillos racionales. El polinomio corchete de Kauffman es un invariante bajo isotopia regular que ha sido usado para obtener una clasificacion de las 3-trenzas y de los 2-ovillos racionales, note que las 2-trenzas son un caso particular de los 2-ovillos racionales. En el caso de los 3-ovillos, el polinomio corchete de Kauffman es una funcion que, dado un 3-ovillo, le asigna cinco polinomios obtenidos de aplicar las relaciones del corchete al ovillo que corresponden a la descomposicion del algebra de los diagramas con una base de cinco 3-ovillos. Por otro lado, para el caso de los 4-ovillos, hay catorce polinomios, en lugar de cinco como en el caso de 3-ovillos, asociados a la base correspondiente de catorce 4-ovillos. En esta tesis se generaliza, de manera parcial, la clasificacion de 3-trenzas al caso de las 4-trenzas. Mas aun dada una 4-trenza se le asocia una matriz, que es un invariante de la 4-trenza, y esta asignacion tiene la propiedad de ser un homomorfismo entre las 4-trenzas y las matrices. Con este invariante se hizo la clasificacion de algunas familias de 4-trenzas."

"An n-tangle is a pair (B3;T), where B3 is the 3-ball and T is a set of n disjoint properly embedded arcs in B3. An n-tangle is called rational if, by even moving B3 , it can be deformed into an n-tangle which possesses a projection with no crossings. n-Braids are a subset of rational n-tangles. The Kauffman bracket polynomial is an invariant under regular isotopy which has been used to obtain a classification of the 3-braids and rational 2-tangles, note that 2-braids are a particular case of rational 2-tangles. In the 3-tangle case, the Kauffman bracket polynomial is a function which, given a 3-tangle, assigns to it five polynomials obtained by applying the bracket relations to the tangle and corresponding to the algebra decomposition of the diagram with certain base of five 3-tangles. On the other hand, for the 4-tangle case there are fourteen polynomials, instead of five as in the 3-tangle case, associated to the corresponding base of fourteen 4-tangles. In this thesis we partially generalize the classification of 3-braids to 4-braids. Moreover, given a 4-braid a matrix, which is an invariant of the 4-braid, is associated to it and this assignation is a homomorphism between 4-braids and matrices. By using this invariant some 4-braids families are classified."