Hacia la clasificación de sistemas mecánicos mediante el método de equivalencia

Abstract

"El matemático Élie Joseph Cartan formuló un método llamado de equivalencia para identificar y calcular invariantes diferenciales de estructuras geométricas bajo la acción de un grupo de transformaciones G. Una versión de la aplicación del método comienza codi cando la estructura geométrica bajo estudio mediante una G-estructura y posteriormente calcula los invariantes diferenciales de la G-estructura aplicando procesos de reducciones y/o prolongaciones. Los invariantes diferenciales proporcionan condiciones necesarias y en ocasiones también su cientes para determinar cuando dos G-estructuras son equivalentes. Por lo tanto el método de equivalencia es una herramienta útil para la clasifi cación de objetos geométricos, es por eso que surge de manera natural en la clasificación de sistemas mecánicos simples con fuerzas externas. En este trabajo se proporcionan los detalles de caracterización mediante una G-estructura de estructuras geométricas tales como variedades Riemannianas, Sub-Riemannianas y un sistema mecánico simple. Nos interesamos en particular en la usualmente llamada Forma Encadenada Extendida (FEE), que representa una clase específica de sistemas mecánicos subactuados en una variedad de con guraciones de dimensión 3.Como ejemplo adicional se calcularon invariantes diferenciales de curvas en el plano R2 ' SE(2)=SO(2) tomando derivadas de Darboux de levantamientos de tales curvas a SE(2). Finalmente se presenta una lectura detallada del artículo de K. Ehlers [15], donde se derivan invariantes diferenciales de variedades no holonómicas de dimensión."

"The French mathematician Elie Joseph Cartan formulated a method, now called "the method of equivalence," to identify and calculate differential invariants of geometric structures under the action of a transformation group G. A version of the method begins by encoding the geometric structure under study by a G-structure and then identifies differential invariants of the G-structure by a process that involves reductions or prolongations. The differential invariants provide necessary (and sometimes sufficient) conditions in order to determine when two G-structures are equivalent. The method of equivalence is a useful tool for classifying geometric objects, hence it arises naturally in the classiffication of mechanical systems formulated in geometric terms. In this work, the basic objects involved in the method of equivalence are studied along with examples of representations of geometric structures, including Riemannian and subriemannian manifolds, via G-structures. Our interest is particularly focused on the so-called Extended Chained Form (ECF), which represents a special class of underactuated simple mechanical systems defined on a 3-dimensional conffiguration manifold. As an additional example, differential invariants for curves in R2 ' SE(2)=SO(2) are computed by taking the Darboux derivatives of lifts of those curves to SE(2). Finally, a detailed reading is made of K. Ehlers' published article [15], where a derivation of differential invariants of three-dimensional nonholonomic manifolds is presented."