Construcción de familias de sistemas caóticos lineales por partes

Abstract

"En el estudio de sistemas dinámicos hay gran interés en la generación de sistemas caóticos con propiedades particulares, ya sea simplicidad de estructural, atractores con múltiples enroscados, entre otras. En los métodos propuestos para generar estos sistemas hay una cosa en común, esto es, la falta de pruebas rigurosas de caos. Por tal razón en esta tesis proponemos métodos para construir sistemas tridimensionales simples para los cuales sean demostrable que su comportamiento dinámico es caótico. En particular, proponemos que la demostración de caos sea mediante el método de Shilnikov. El principal dificultad para esta demostración es el garantizar la existencia de órbitas homoclínicas o ciclos heteroclínicos. Un camino para construir sistemas caóticos es asegurando que los sistemas construidos posean órbitas homoclínicas/heteroclínicas. En esta tesis proponemos tres familias de sistemas lineales por partes para las cuales se puede demostrar que tienen dinámica caótica usando el método de Shilnikov. Aprovechamos la simpleza geométrica de las descripciones lineales alrededor de los puntos de equilibrio del sistema para proponer un algoritmo de construcción que presentan una serie de pautas para intersectar los eigenespacios y el plano de swithcheo de modo que garantizamos que las conexiones entre los puntos de equilibrio son órbitas homoclínicas o ciclos heteroclínicos. Ilustramos nuestros resultados con simulaciones numéricas de diferentes realizaciones de sistemas caóticos lineales por partes construidos utilizando los algoritmos propuestos de dos y tres dominios lineales. "

"Currently, in the study of dynamical systems there is a great deal of interest on the generation of chaotic systems with particular properties, such as structural simplicity, multiscroll attractors, among others. There is a common feature in most of the methods proposed for their construction, that is, the lack of rigorous proofs of chaos for the resulting systems. For that reason in this thesis we propose to construct simple three dimensional systems for which the chaotic behavior can be demonstrable. In particular, we propose that the demonstration of chaos be done using the Shilnikov method. The main di culty for this type of demonstration is to guaranty the existence of homoclinic orbits and heteroclinic cycles. A way to construct chaotic systems is to ensure that the resulting systems have homoclinic/heteroclinic orbits. In this thesis we propose three families of piecewise linear systems for which is possible to demonstrate that their dynamical behavior is chaotic using the Shilnikov method. We take advantage of the geometric simplicity of the linear descriptions of the dynamics around the equilibrium points of the system to propose a construction algorithm that gives a series of steps such that de eigenspacies and swithing planes intersect in a way that guarantees that the connections between the equilibrium points are through homoclinic or heteroclinic orbits. We illustrate our results with numerical simulations of the di erent realizations of piecewise linear chaotic systems constructed using the proposed algorithms for two and three linear domains. "