Casos de Solución del Problema de Anulación de Curvatura de una Conexión Afín Simétrica

Abstract

El problema de anular la curvatura de una conexión afín simétrica es un problema de geometría diferencial que surge en teoría de control, motivado por un problema de equivalencia (local) entre sistemas de control mecánico. La solución del problema de equivalencia consiste en determinar condiciones bajo las cuales un sistema mecánico es transformable a una de las versiones de la forma encadenada extendida (FEE). La relación de equivalencia está definida por una transformación llamada retroalimentación de estados estática invertible. Las FEErs son sistemas de control mecánico cuyo modelo dinámico tiene una estructura muy simple, lo cual facilita el análisis típico que se hace en teoría de control, como análisis de controlabilidad, diseño de trayectorias, leyes de control y estabilizadores, sólo por mencionar algunos. Al observar que el tensor de curvatura (R idénticamente cero) asociado a la conexión de Levi–Civita definida por la métrica de la FEE juega un papel importante dentro de las condiciones necesarias, es decir la anulabilidad de la curvatura asociada a la conexión afín simétrica definida por la métrica del sistema es una condición necesaria para que el sistema mecánico se pueda escribir o transformar en una de las versiones de una FEE, esto motivó a plantear el problema de anular la curvatura de manera similar a uno de prescripción de curvatura. Esto es, dada una variedad lisa M , una distribución D y una conexión afín ∇, con tensor de curvatura R no cero, encontrar un campo tensorial F que tome valores en D y tal que la nueva conexión ∇˜ = ∇+F tenga tensor de curvatura R˜ idénticamente cero. La solución del problema consiste en determinar condiciones bajo las cuales existe el campo F; a su vez, dicha solución involucra determinar condiciones de integrabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) sobredeterminados, que resultan del tensor de curvatura. En este trabajo de investigación, encontramos condiciones suficientes para resolver el problema en dimensión 2, considerando distribuciones de rango 1 constantes y conexiones afines determinadas por símbolos de Christoffel con características particulares.

2@The geometric problem of flattening an affine connection curvature arises in control theory and is motivated by a problem of (local) equivalence between mechanical sys- tems. The solution to the equivalence problem in question consists in finding conditions under which a simple mechanical system can be transformed into one of the versions of the extended chain form (ECF). The equivalence relation is defined by a transforma- tion called invertible static feedback. The EFC′s are mechanical control systems whose mathematical model has a very simple structure, which facilitates the solution of many of the problems found in control theory such as controllability analysis, and design of control to attain different objectives. It was observed that the curvature tensor associa- ted with the Levi–Civita connection defined by the metric tensor of the ECF plays an important role within the necessary conditions. This motivates the problem as a special case of the problem curvature prescription; that is, given a smooth manifold M , a dis- tribution D and an affine connection ∇, with nonzero curvature tensor R over M , find a tensor field F that takes values in D and such that the new connection ˜∇ = ∇ + F has curvature tensor ˜R identically zero. The solution of the problem consists of de- termining conditions under which F exists; in turn, the solution involves determining conditions of integrability of overdetermined systems of partial differential equations (PDEs), resulting from the curvature tensor. In this research work, we found sufficient conditions to solve the problem in dimension 2, considering constant rank 1 distribu- tions and affine connections determined by Christoffel symbols with particular features.