Supersimetría y propagación de solitones en guías de onda

Abstract

"Se hace el estudio teórico de la propagación de pulsos a través de un medio, descrito por las ecuaciones de Maxwell considerando las características materiales del medio, a través de la “ecuación de onda”; y se implementa un procedimiento para la obtención de una solución analítica de la misma ecuación bajo el uso de métodos supersimétricos, tal como se hace en mecánica cuántica para el caso de la ecuación de Schrödinger, ya que esta ecuación y la ecuación de onda son similares en una aproximación paraxial. El tratamiento supersimétrico nos permite proponer una aplicación tecnológica haciendo un filtrado de modos, a través de la aplicación iterativa del método de manera jerárquica. Por otra parte, en este mismo contexto óptico, se trabaja con sistemas dinámicos de óptica no lineal, tomando como sistema principal el modelo en guías de onda y fibras ópticas. Como es bien sabido, en estos sistemas ópticos generalmente se presentan soluciones que se pueden ver como soluciones de tipo onda solitaria y de tipo switcheo (kinks). Teniendo como referencia que, una de las principales aplicaciones de estos sistemas, es aquella que en sus ecuaciones la solución se presenta en el entorno de solitones ópticos, soluciones que presentan características específicas y bien definidas del pulso. Para ser exactos principalmente estas soluciones se observan en ecuaciones no lineales, como lo son las ecuaciones de Schrödinger (NLSE por sus siglas en inglés) y de Ginzburg-Landau (NLGLE). Entonces, tomando en cuenta lo mencionado anteriormente, para hacer una contribución en la obtención de soluciones de este tipo de problemas, en este trabajo se propone un método para encontrar soluciones solitónicas de las ecuaciones no lineales de Schrödinger y Ginzburg-Landau en casos generalizados de ecuaciones de coeficientes variables, en las cuales se hace el tratamiento con solitones no autónomos, mismos que están descritos bajo el manejo de dispersión y no linealidad, relacionados con ejemplos concretos en aplicaciones tecnológicas presentadas en la literatura. También, se presenta una descripción de un modelo no lineal comúnmente trabajado en óptica, pero bajo un esquema supersimétrico de factorización con ayuda del método propuesto por Rosu y Cornejo-Pérez para la factorización de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, en donde en esta tesis este problema es propuesto como una extensión del método, obteniendo soluciones solitónicas supersimétricas."

"Initially, to make the theoretical study of the propagation of pulses through a medium, it is necessary to work through the development of Maxwell’s equations, contemplating the material characteristics of the medium, from which the differential equation of the second order called “wave equation”, this equation that when is solved, gives us information of the explicit form of the pulse propagation in the medium. In this thesis a procedure was implemented to obtain an analytical solution of the wave equation under the use of supersymmetric methods, as is done in quantum mechanics for the case of the Schr¨odinger equation. Classical Schr¨odinger equation and the wave equation are similar in a paraxial approximation, the supersymmetric treatment is used to obtain a solution starting from the own factorization of the method. Where you get a parametric family solution by propagation constants analogous to energy in quantum mechanics, which generate in optics “ isomodespectrality” (i.e, is obtains the same propagation constants for the waveguides by supersymmetry method except for the fundamental mode or first mode), which correspond to the real and discrete eigenvalues of the linear Schr¨odinger spectral problem in its optic paraxial treatment, at the same time, by this method a partner waveguide is obtained, represented by the index of refraction and this is called “supersymmetric waveguide”, it means we are able to generate the type of structure that will support the modes of propagation partners, also, this supersymmetric method can be applied in a hierarchical manner, with which we realize that, it is guaranteed a filtering structures of propagation modes. On the other hand, in this same optical context, we work with dynamic systems of nonlinear optics, taking the model in waveguides and optical fibers as the main system. As is well known, in these optical systems solutions are usually presented that can be seen as solutions of solitary wave type and switching type (kinks). Taking as reference that one of the main applications of these systems is that in their equations the solution is presented in the environment of optical solitons whose solutions have specific and well defined characteristics of the pulse. To be exact, these solutions are mainly observed in non-linear equations, such as the Schrödinger (NLSE) and Ginzburg-Landau (NLGLE) equations. Then, taking into account the aforementioned, to make a contribution in obtaining solutions for this type of problems, in this work we propose a method to find solitonic solutions of the non-linear equations of Schrödinger and Ginzburg-Landau in generalized cases of variable coefficients equation, in which the treatment is done with non-autonomous solitons, which are described under the dispersion and non-linearity management, related to concrete examples in technological applications presented in the literature. Finally, a description is made of a nonlinear model commonly worked in optics, but under a supersymmetric scheme of factorization with the help of the method proposed by Rosu and Cornejo-Pérez for the factorization of nonlinear second order differential equations, where in this thesis this problem is proposed as an extension of the method, obtaining solitonic supersymmetric solutions."