Aspectos caóticos de una clase de mapeos discretos sin puntos fijos

Abstract

El estudio de sistemas dinámicos discretos ha sido de gran utilidad para el desarrollo de distintas áreas de las ciencias naturales, exactas y sociales. Una de las características que pueden poseer los sistemas dinámicos discretos es el de presentar comportamiento caótico. Este rasgo ha sido aprovechado por la criptografía en la generación de secuencias pseudoaleatorias. Es por ello que la importancia de generar nuevos sistemas que exhiban mapeos caóticos resulta de gran utilidad.

En esta tesis se presentan dos familias de mapeos discretos que tienen la particularidad de no presentar puntos fijos: la primera definida por mapeos racionales y la segunda por mapeos lineales por partes. En cada una de estas familias se dan las condiciones que deben tener para que se consiga obtener tal particularidad. Además, para la familia de mapeos lineales por partes y sin puntos fijos se hace un análisis a través de los exponentes de Lyapunov para determinar caos para ciertos valores de los parámetros. Finalmente se toma un mapeo lineal por partes y sin puntos fijos con valores particulares y se demuestra la existencia de caos en el sentido de Devaney.

The study of discrete dynamical systems has been very useful for the development of different areas in science, such as natural sciences, exact sciences and social science. One of the properties that, discrete dynamical systems have, is that they can exhibit chaotic behavior. This feature has been exploited by cryptography in the generation of pseudorandom sequences. Because of this, the importance of generating new systems that exhibit chaotic maps is worth it. In this thesis, two families of discrete maps are presented, both of them have the particularity that they do not have fixed points: the first of them, is defined by rational maps, the second one is describred by piecewise linear maps. In each of these families the conditions are given so that they do not have fixed points. Furthermore, for the piecewise linear maps and non fixed points family, an analysis is done through the Lyapunov exponents to detect chaos. Finally, a particular piecewise linear map with not fixed points is taken and the existence of chaos at Devaney sense for this map is proved.