Localización de Atractores Ocultos en Sistemas Lineales por Partes Basados en la Ecuación Jerk

Abstract

"Los sistemas dinámicos no lineales pueden presentar fenómenos dinámicos conocidos como atractores los cuales atraen a las soluciones del sistema que se encuentran lo suficientemente cerca. El estado final, es decir, el atractor en el que el sistema evoluciona, depende fuertemente de las condiciones iniciales. Además, dichos sistemas son muy sensibles a los parámetros del sistema, por lo que puede producirse un cambio repentino en la estabilidad del sistema. Para comprender la dinámica de estos sistemas, se debe identificar todos los atractores posibles y sus cuencas de atracción. Las cuencas de atracción de los atractores ocultos no tocan puntos de equilibrio inestables (si existen) y se encuentran lejos de dichos puntos. La localización de los atractores ocultos no es sencilla, ya que no existen procedimientos que conduzcan a ellos desde las vecindades de puntos de equilibrio inestables. Desde el punto de vista de las aplicaciones, la identificación de atractores ocultos es un problema importante. El conocimiento sobre la aparición y las propiedades de los atractores ocultos puede aumentar la probabilidad de que el sistema permanezca en el atractor más deseable y reducir el riesgo de un salto repentino a un comportamiento no deseado. La existencia de atractores ocultos en sistemas PWL como el circuito de Chua, el cual puede ser interpretado como tres sistemas lineales conectados en diferentes secciones del espacio de estados, motiva la búsqueda de atractores ocultos en sistemas lineales por partes. El método utilizado por Gennady A. Leonov es un acercamiento analítico-numérico efectivo para la localización de un atractor, basado en el método de la función descriptiva (DFM), el efecto de un parámetro pequeño y la continuación numérica. La idea es encontrar analíticamente una solución oscilante para el primer sistema de una secuencia de sistemas similares, y entonces, seguir numéricamente la transformación de esta solución inicial al pasar de un sistema a otro. En el presente trabajo propone aplicar el método analítico - numérico para la localización de atractores ocultos en sistemas PWL basados en la ecuación Jerk con el objetivo de determinar realizaciones numéricas que conduzcan a atractores ocultos."

"Nonlinear dynamic systems can present dynamic phenomena known as attractors which attract solutions of the system that are close enough. The final state, that is, the attractor in which the system evolves, strongly depends on the initial conditions. In addition, such systems are very sensitive to system parameters, so a sudden change in system stability can occur. To understand the dynamics of these systems, all possible attractors and their basins of attraction must be identified. The basins of attraction of the hidden attractors do not touch unstable equilibrium points (if they exist) and are far from these points. The location of the hidden attractors is not easy, since there are no procedures that lead to them from the vicinity of unstable equilibrium points. From an applications point of view, the identification of hidden attractors is a major problem. Knowing about the appearance and properties of hidden attractors can increase the likelihood that the system will stay on the most desirable attractor and reduce the risk of a sudden jump to unwanted behavior. The existence of hidden attractors in PWL systems such as the Chua circuit, which can be interpreted as three linear systems connected in different sections of the state space, mo- tivates the search for hidden attractors in piecewise linear systems. The method used by Gennady A. Leonov is an effective numerical-analytical approach to locating an attractor, based on the descriptive function method (DFM), the effect of a small parameter, and nume- rical continuation. The idea is to analytically find an oscillating solution for the first system in a sequence of similar systems, and then numerically follow the transformation of this initial solution when going from one system to another. In the present work he proposes to apply the analytical-numerical method for the location of hidden attractors in PWL systems based on the Jerk equation in order to determine numerical realizations that lead to hidden attractors."