Theory of vertically trasverse functions and their application to control of critical mechanical systems.

Abstract

"En esta tesis se desarrolla y analiza una metodología teórica para atacar la estabilización práctica de configuraciones para sistemas de segundo orden descritos en grupos de Lie. En particular, esta clase de sistemas surgen de la formulación de Euler-Lagrange que describe la dinámica de sistemas mecánicos. La estabilización de esta clase de sistemas resulta ser no trivial dado que esta clase incluye sistemas mecánicos posiblemente restringidos y subactuados. Además, esta clase de sistemas incluye sistemas que no admiten reducciones cinemáticas, sistemas cuya linealización en puntos de equilibrio es no controlable y sistemas para los que no existe retroalimentación continua en el estado que estabilice por ejemplo, puntos de equilibrio. Ejemplos de esta clase de sistemas son los manipuladores mecánicos subactuados, cuerpos rígidos en el espacio, vehículos a ruedas y vehículos acuáticos subactuados. Es interesante notar que estos sistemas de control son sistemas afines en el control para los cuales el campo vectorial de deriva juega un papel importante para determinar la accesibilidad local del sistema de control. La metodología analizada en esta tesis, originalmente propuesta en (Sosa [2005]), tiene como objetivo extender la metodología de estabilización propuesta por Morin y Samson [2003] para atacar la estabilización práctica de configuraciones para sistemas de segundo orden. Las contribuciones principales de esta tesis se centran, primero, en analizar la cero-dinámica de lazo cerrado para determinar el comportamiento a largo plazo de las trayectorias del sistema en lazo cerrado y segundo, en modificar el algoritmo de control propuesto con el objetivo de moldear las trayectorias de la cero-dinámica para obtener resultados de estabilidad requeridos en aplicaciones prácticas. El desarrollo y el análisis de la metodología teórica presentados en esta tesis sugieren problemas complejos que deben ser resueltos para obtener una metodología unificada, sistemática y general para el control de sistemas mecánicos subactuados vía funciones verticalmente transversas."

"In this dissertation we analyze a theoretical framework to address practical stabilization of fixed configurations for second-order systems on tangent Lie groups based in vertical transversality (initially proposed in Sosa [2005]). In particular we are interested in control systems arising from the Euler-Lagrange formulation for mechanical systems. Stabilization of this class of systems results nontrivial given that this class encompasses, possibly constrained, underactuated mechanical systems. Within this class one may encounter systems that are not kinematic reductions of mechanical systems, systems whose linearization at equilibria is non-controllable, and control systems that cannot be stabilized by means of continuous state feedback. Examples of such systems include underactuated mechanical manipulators, rigid body systems in space, wheeled vehicles and underactuated underwater vehicles. It is interesting to remark that these control systems are affine control systems for which the drift vector field plays a key role in determining important properties such as local accessibility. The framework analyzed in this thesis, which was initially proposed in (Sosa [2005]), is intended to provide an extension to the stabilization procedure proposed by Morin and Samson [2003] to deal with the practical stabilization of configurations for second-order systems. The main contributions of the thesis center on two important issues. First, in analyzing the closed-loop zerodynamics to assess the long-termbehavior of the trajectories of the closed-loop systemand, second, in modifying the proposed control algorithm with the objective of shaping the zero-dynamics trajectories to obtain stability results urged by practical applications. However, the analysis done is not conclusive towards the developing of a unified and systematically applicable theoretical framework to address configuration stabilization for general mechanical system via vertically transverse functions."