Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos.

Abstract

"El tema de esta tesis abunda en las propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periodicos y sus soluciones. Ecuaciones de este tipo empezaron a surgir desde la mitad del siglo XVIII cuando dA lembert publico un estudio sobre la trayectoria de un punto arbitrario de una cuerda en movimiento vibracional. Sin embargo, el primer estudio analıtico de una ecuacion diferencial de segundo orden con coeficientes periodicos lo realizo E. Mathieu en su trabajo de 1868 sobre las vibraciones de las membranas elıpticas. En el primer capıtulo de la tesis se presentan varias definiciones y conceptos basicos para este tipo de ecuaciones que serviran en el segundo capıtulo en el desarrollo de uno de los metodos principales de construccion de soluciones perıodicas mas generales, llamadas inicialmente de segunda especie siguiendo el trabajo fundamental de Floquet publicado en 1883. Este analisis se hace para un orden arbitrario, m E N, de la ecuacion diferencial. Ademas, estas soluciones de tipo Floquet se presentan de manera equivalente a traves del formalismo de las matrices en forma canonica de Jordan. Una parte de la contribucion del trabajo de tesis versa sobre una presentacion detallada de algunos resultados olvidados de Floquet que podrıan tener impacto en la actualidad si fueran mas conocidos. Entre estos, mencionamos la reduccion del orden de la ecuacion a traves de un ingenioso cambio de la variable dependiente. En el mismo capıtulo, se construyen las soluciones de Floquet para el caso del oscilador armonico, uno de los ejemplos ilustrativos mas sencillos.Finalmente, el capıtulo tres contiene otros casos utiles de sistemas fısicos regidos por ecuaciones diferenciales de coeficientes periodicos para los cuales se escribe la forma de las soluciones de Floquet. Otros conceptos fundamentales se incluyen en la parte de apendices para la completitud y autoconsitencia del trabajo."

"The main subject of this thesis refers to the properties of the linear differential equations with periodic coefficients and their solutions. Equations of this kind occurred for the first time towards the middle of the 18th century when dAlembert published a work on the trajectory of an arbitrary point of a string in vibrational motion. However, the first analytic study of a linear differential equation of the second order with periodic coefficients belongs to E. Mathieu in 1868 on the vibrations of elliptic membranes. In the first chapter of the thesis, we present the basic definitions and concepts required for this type of equations, which will be used in the second chapter to develop one of the most important methods to build more general periodic solutions, initially called periodic solutions of the second kind, on the lines of the seminal paper of G. Floquet published in 1883. The analysis is performed for an arbitrary order m E N of the differential equation. Moreover, the Floquet solutions are obtained by the equivalent formalism of matrices in the canonical Jordan form. Another part of the contributions in the thesis refers to some of the forgotten results in the work of Floquet, which nevertheless could still have an impact in the literature if they were better known. Among them, we mention the reduction of the order of a differential equation with periodic coefficients by a remarkable change of the dependent variable. In the same chapter, the Floquet solutions of the harmonic oscillator are built explicitly as one of the simplest illustrative examples. Finally, the third chapter contains other useful cases of physical systems whose dynamical behavior is described by differential equations with periodic coefficients, for which the form of the Floquet solutions is written down. Some other fundamental concepts are inclosed in the appendices of the thesis to assure the selfconsistency of the work."