Cálculo de polinomio de Conway de 3-ovillos orientados.

Abstract

"Puesto que una tarea importante en topología es la clasificación de nudos y enlaces, con ese fin se han desarrollado mapeos del conjunto de nudos (o subconjuntos de nudos) a valores en conjuntos con estructuras algebraicas, como por ejemplo polinomios en una indeterminada. Un mapeo de ese tipo recibe el nombre de invariante de nudo si su valor no cambia al evaluarse en nudos que son “equivalentes”, entendiéndose que dos nudos equivalentes si media entre ellos una isotopía ambiente. En 1980, Cole A. Giller planteó un procedimiento para calcular el polinomio de Conway de los nudos orientados obtenidos al “cerrar”, mediante la adición de cuerdas externas, cierto tipo de 2-ovillos orientados. En esta tesis se presenta un método eficiente que extiende los resultados de Giller al caso de 3-ovillos orientados y los nudos (o enlaces) que de ellos se obtienen mediante seis tipos específicos de cerradura. Para tales ovillos se define un invariante cuyas componentes son determinadas por el polinomio de Conway asociado a cada una de las cerraduras propuestas. Para la subclase de 3-ovillos dada por las 3-trenzas orientadas, en este trabajo se obtienen fórmulas explícitas para el cálculo de dicho invariante. Más aun, se demuestra que las componentes del invariante de una 3-trenza dada se expresan en términos de fracciones continuas determinadas por la trenza. Una característica interesante de las fórmulas desarrolladas para 3-trenzas es que las dos últimas componentes del invariante desarrollado vienen dadas en función de las cuatro primeras, lo cual facilita su cálculo en relación a 3-ovillos más generales."

"An interesting goal of topology is the classification of knots and links. With that in mind, a number of mappings have been defined on the set of knots and taking values in sets with different algebraic structures, for example polynomials in one indeterminate. Any such mapping is called a knot invariant if its values remain unchanged for any two knots that are “equivalent,” where equivalence is typically understood in the sense of being related by an ambient isotopy. In 1980, Cole A. Giller introduced a procedure to compute the Conway polynomial of oriented knots obtained by “closing” oriented 2-tangles via the addition of external strands. In this thesis, an efficient tool is presented which extends Giller’s results to the case of knots or links obtained by application of six different closures to oriented 3-tangles. For such 3- tangles, a vector-valued invariant is defined whose components are determined by the Conway polynomials of its six closures. For the class of oriented 3-braids—a subset of oriented 3-tangles—explicit formulas are given in this work for the computation of the proposed invariant. It is shown, moreover, that for a given 3-braid, the components of its invariant may be written in terms of continued fractions determined by the braid. An interesting property of the proposed invariant is that, for an oriented 3-braid, its last two components are given by affine functions of its first four components. This simplifies the computations for 3-braids as compared to more general 3-tangles."