Regulación por fijación en redes de modelos neuronales linealmente acoplados

Abstract

"En la vida real existen muchos sistemas complejos de diferente naturaleza ya sean biológicos, físicos, sociales o tecnológicos; los cuales pueden ser representados matemáticamente como grafos donde los nodos son sistemas dinámicos y los enlaces describen la forma en que interactúan para dar al sistema sus características y funcionalidad. A este modelo usualmente se le llama red dinámica compleja ya que se caracteriza por buscar capturar la complejidad estructural de las interacciones y la dinámica de los nodos que conforman al sistema original. Uno de los aspectos más interesantes del estudio de redes dinámicas complejas es determinar su comportamiento colectivo, es decir, establecer la forma en que la evolución dinámica de sus nodos genera un comportamiento auto organizado. Un fenómeno básico que se presenta en este tipo de sistemas es el surgimiento de comportamiento sincronizado, es decir, que los nodos de la red evolucionan coordinados en el tiempo. En general, este tipo de evolución dinámica al unísono no es necesariamente estable. En este caso, se pueden diseñar controladores para imponer un comportamiento deseado en la red. La naturaleza de las conexiones en la red permiten utilizar una metodología de diseño llamada control por fijación, en la cual una acción de control por retroalimentación local se aplica solo a un número muy reducido de nodos y se logra el objetivo de control en toda la red, ya sea este un estado estacionario o seguir una referencia dada. En este trabajo de tesis nos enfocamos en los problemas de sincronización y control por fijación cuando los nodos son funciones matemáticas de modelos neuronales, específicamente neuronas tipo Hindmarsh-Rose, los cuales describen matemáticamente una aproximación al comportamiento eléctrico de la neurona. En particular, reproducen los ciclos de disparos de picos característicos del comportamiento neuronal. Nuestro modelo de la red neuronal es una red compleja donde las neuronas están acopladas solamente en forma eléctrica. Para este modelo de la red neuronal establecemos condiciones para el surgimiento de sincronización idéntica cuando las conexiones son uniformes y también para el caso en que las conexiones tienen pesos. Así mismo, para ambos tipos de conexión proponemos controladores locales basados en la estrategia de control por fijación para imponer un comportamiento de punto de equilibrio estable en toda la red de neuronas."

"In real life there are many complex systems of different natures, they can be biological, physical, social or technological; which can be represented mathematically as graphs where the nodes are dynamical systems and the links describe the form in which they interact to give the system its characteristics and functionality. These models are usually called complex dynamical networks since they are characterized by the aim to capture the structural complexity of the interactions and the dynamics of the nodes that constitute the original complex system. One of the most interesting aspects of the study of complex dynamical networks is determining its collective behavior, that is, establishing the way in which the nodes evolve dynamically to generate an autoorganized behavior. A basic phenomenon that is present in these type of systems is the emergence of synchronized behavior, that is, the nodes in the network evolve coordinated in time. In general, this type of dynamical evolution at unison is not necessarily stable. In that case, controllers can be designed to impose the desired behavior on the network. The connected nature of the system allows us to use the pinning control strategy to design the controllers. Using this approach a local feedback control action can be applied only to a reduced number of nodes to achieve the control objective for the entire network, the desired behavior can be a fixed point or a given time-varying reference. In this thesis, we focus on the synchronization and pinning control problems when the nodes are neural models, specifically Hindmarsh-Rose type neurons, which describes mathematically an approximation to the electrical behavior of a neuron. In particular, it reproduces the spike bursting cycles that characterize the dynamics of a neuron. Our model of the neural network is a complex dynamical network which is only coupled electrically. For these model of the neural network, we establish conditions for the emergence of identical synchronization when the connections are uniform and also when the connections have weights. Also, for both types of connection, we propose local controllers based on the pinning strategy to impose a stable fixed point behavior to the entire network of neurons."