Sincronización de modelos matemáticos de neuronas mediante acoplamientos basados en umbrales

Abstract

"En el área de sistemas dinámicos, el sistema de Hindmarsh–Rose (HR) es un modelo matemático bien conocido de la actividad eléctrica neuronal. Dicho modelo diseñado a partir de una generalización del modelo de Hodgkin-Huxley (HH) y de FitzHugh-Nagumo (FHN) representa mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas el potencial de membrana y las corrientes de iones que ocurren de forma bastante aproximada al comportamiento real de las neuronas activas. Dado que las neuronas forman una amplia y compleja red de transmisión de información y se comunican con otras neuronas por medio de conexiones entre ellas, la sincronización de su actividad no ha sido analizada del todo y resulta un factor fundamental en su estudio y comprensión. Por lo cual, en este trabajo se aborda la sincronización de la dinámica caótica de los modelos matemáticos de dos neuronas de HR a través de un acoplamiento basado en niveles o umbrales de activación previamente definidos. El tipo de acoplamiento utilizado es unidireccional y se realiza mediante una señal subamortiguada adaptable, la cual se activa en cada evento de cruce entre la trayectoria de una neurona asignada como maestra atravesando un valor umbral definido mediante un plano de Poincaré. Se presenta un nuevo sistema acoplado de neuronas maestro-esclavo basado en modelos matemáticos. El tipo de sincronización entre los sistemas se detecta mediante análisis matemáticos y simulaciones numéricas considerando el estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio, el enfoque del sistema auxiliar y los exponentes de Lyapunov para determinar la dinámica caótica que resulta de dichos sistemas. "

"In the area of dynamical systems, the Hindmarsh-Rose (HR) system is a well-known mathematical model of neuronal electrical activity. This model designed from a generalization of the models of Hodgkin-Huxley (HH) and FitzHugh-Nagumo (FHN) represents by a set of mathematical equations the membrane potential and the ion currents that occur in a highly approximate way to the actual behavior of active neurons. Since the neurons form a wide and complex network of information transmission and communicate with other neurons through connections between them, the synchronization of their activity is a fundamental factor. Therefore, this work deals with the synchronization of the chaotic dynamics of two Neurons of HR through a link based on previously defined levels or thresholds. The type of coupling used is unidirectional and is made by an adaptive subdampened signal, which is activated in each crossover event between the trajectory of a neuron assigned as a master through a threshold value located by a plane of Poincaré. A new coupled system of master-slave neurons is presented based on mathematical models. The type of synchronization between the systems is detected by mathematical analysis and numerical simulations considering the study of the stability of the equilibrium points, the approach of the auxiliary system and the exponents of Lyapunov to determine the Chaotic dynamics that result from these systems."