Sincronización en redes dinámicas con diferentes estructuras de conexión

Abstract

"En este trabajo de tesis se investiga el surgimiento de un comportamiento colectivo sincronizado en modelos de sistemas complejos. Usualmente, los sistemas complejos son modelados como un conjunto de sistemas dinámicos interconectados con estructuras topológicamente complicadas, donde es posible considerar que existen diferentes formas de conexión, nodos de diferente naturaleza e interacciones entre distintos grupos de nodos. Este tipo de características se pueden observar comúnmente en sistemas biológicos, en los cuales el fenómeno de sincronización es de suma importancia, ya que la presencia o ausencia de sincronía se puede relacionar a una función específica del sistema o incluso a una disfunción del mismo. Inspirados en esta realidad biológica, nos enfocamos en el problema de sincronización en redes cuyos nodos son sistemas dinámicos y los enlaces representan la interconexión entre estos sistemas dinámicos, por lo que proponemos tres diferentes casos de estudio. En el primer caso nos enfocamos en un modelo de red formado por osciladores idénticos acoplados de manera lineal, simétrica, bidireccional y difusiva. Para este modelo presentamos un procedimiento para el diseño de controladores locales que imponen un mapeo estático e independiente del tiempo, como la relación deseada entre los nodos de la red, esto impone el surgimiento de la sincronización generalizada en redes. En el segundo caso de estudio proponemos un modelo de red que considera nodos de distinta naturaleza y diferentes tipos de conexión, donde además se supone que existe una tendencia de los nodos a organizarse en grupos o comunidades, modelando el sistema complejo como una red de redes. Para este modelo determinamos que condiciones sencillas como difusividad y simetría entre grupos garantizan el surgimiento de la sincronización por clúster, es decir, nodos que pertenecen al mismo grupo o comunidad están sincronizados, mientras que nodos de diferentes grupos no. En el tercer caso de estudio consideramos una red de osciladores idénticos donde existen enlaces de distinta naturaleza, modelando este tipo de sistemas como una hiperred dinámica. En este caso identificamos condiciones para la estabilidad del estado sincronizado en la hiperred dinámica aún cuando algunos enlaces son no lineales. Finalmente, los resultados teóricos obtenidos en cada caso de estudio se ilustran por medio de simulaciones numéricas."

"In this thesis the emergence of a synchronized collective behavior in models of complex systems is investigated. Usually, complex systems are modeled as a set of interconnected dynamical systems with topologically complicated structures, where it is possible that there are different forms of connection, nodes of different nature and interactions between different groups of nodes. This type of characteristics can be observed in biological systems, in which the phenomenon of synchronization is important, since the presence or absence of synchronization can be related to a specific function of the system or even a system dysfunction. Inspired by this biological reality, we focus on the problem of synchronization in networks which nodes are dynamical systems and edges represent the interconnection between these dynamical system, so three different case studies are proposed. In the first case we focus on a network model formed by identical oscillators coupled linearly, symmetrically and diffusively. For this model we present a procedure for the design of local controllers that impose a static and time independent mapping, as the desired relationship between the nodes of the network, this imposes the emergence of generalized synchronization in networks. In the second case study we propose a network model that considers nodes of different nature and different types of connection, where it is also assumed that there is a tendency for nodes to organize themselves into groups or communities, modeling the complex system as a network of networks . For this model we determine that simple conditions such as diffusivity and symmetry between groups guarantee the emergence of cluster synchronization, that is, nodes belonging to the same group or community are synchronized, while nodes of different groups do not. In the third case of study we consider a network of identical oscillators where there are edges of different nature, modeling this type of systems as a dynamic hyper-network. In this case we identify conditions for the stability of the synchronized state in the dynamic hyper-network even when some edges are non-linear. Finally, the theoretical results obtained in each case of study are illustrated by means of numerical simulations."