Aplicaciones de los sistemas dinámicos: desigualdades de concentración en Shifts contables de Markov y modelos económicos con la dinámica del replicador

Abstract

"En esta tesis estudiamos algunas aplicaciones de los sistemas dinámicos, en particular nos centraremos en estudiar el fenómeno de concentración de la medida de Gibbs en shifts contables de Markov y una aplicación de la dinámica del replicador a la economía, para modelar la repercusión sobre el bienestar de los consumidores a causa de las decisiones de inversión de los mánagers de las empresas en una economía de propiedad privada. Por fines de claridad estructuramos la tesis como sigue. En la primera parte de esta tesis estudiamos las propiedades estadísticas de los sistemas dinámicos simbólicos dotados de una medida de Gibbs, en particular nos enfocamos en el estudio de las desigualdades de concentración, las cuales nos brindan cotas no asintóticas sobre la probabilidad de desvío de observables de inter\'es respecto de su valor esperado, dicho estudio lo separaremos en dos casos: (1) para el primero supondremos que el alfabeto que define el sistema simbólico es finito, contexto en el cual se sabe que una desigualdad de concentración se satisface para potenciales Lipschitz y observables separadamente Lipschitz de n variables (ver [22], [23] o [24]), es importante señalar que en esta desigualdad aparece una constante denominada constante de concentración, de la cual en esta tesis damos una estimación, la importancia de esta estimación recae en sus posibles aplicaciones, las cuales abordaremos a lo largo de este trabajo. (2) Por otra lado consideraremos el shift contable de Markov, el cual se obtiene al suponer que el alfabeto que define al sistema es contable no finito, para este tipo de sistemas probaremos que al igual que en el caso finito se satisface una desigualdad de concentración exponencial, m\'as aun probaremos que las aplicaciones de las desigualdades de concentración para el caso finito permanecen válidas para el caso contable, en este sentido, los resultados obtenidos en este trabajo de tesis permiten extender los resultados existentes en la literatura sobre desigualdades de concentración en sistemas dinámicos simbólicos dotados con una medida de Gibbs. En la segunda parte de esta tesis mostramos una aplicación de los sistemas dinámicos a la economía, para esto presentaremos un modelo basado en la dinámica del replicador para analizar cómo las decisiones racionales de los mánagers de las empresas, quienes buscan obtener mayores beneficios invirtiendo en las ramas de producción que les generan mayores beneficios, provocan un cambio en los precios y/o asignaciones de equilibrio y como esto a su vez puede traer repercusiones no deseables para los consumidores, de quienes supondremos son accionistas de las empresas, pues para este modelo consideraremos economías de producción de propiedad privada con ramas de producción. Además utilizando resultados de Accinelli y Covarrubias en [1] mostramos que nuestro modelo puede ser considerado como un juego N-poblacional, lo cual sienta las bases del trabajo futuro que discutiremos en la parte final de esta tesis, con el cual se pretende relacionar el contenido de ambas partes de este trabajo, para lo cual introduciremos los llamados juegos con potencial, los cuales son una clase especial de juegos donde el incentivo de los jugadores a cambiar de estrategia está dado por una función potencial, para esta clase de juegos en [21] los autores prueban que las medidas de Gibbs, al menos en el sentido de la física estadística aparecen de forma natural."

"In this thesis we study some applications of dynamical systems, in particular we will focus on studying the concentration phenomenon of the Gibbs measure in Markov accounting shifts and an application of the replicator dynamics to the economy, to model the impact on welfare. of consumers because of the invest- ment decisions of company managers in a privately owned economy. For the sake of clarity we structure the thesis as follows. In the first part of this thesis we study the statistical properties of symbolic dynamical systems endowed with a Gibbs measure, in particular we focus on the study of concentration inequalities, which provide us with non-asymptotic limits on the probability of deviation of observables of interest with respect to their expected value, this study will be separated into two cases: (1) for the first we will assume that the alphabet that defines the symbolic system is finite, a context in which it is known that an inequality of concentration is satisfied for Lipschitz potentials and separately observable Lipschitz of n variables (see [22], [23], or [24]), it is important to point out that in this inequality there appears a constant called constant of concentration, of which in this thesis we give an estimate, the importance of this estimate lies in its possible applications, which we will address throughout this work. (2) On the other hand, we will consider the Markov accounting shift, which is obtained by assuming that the alphabet that defines the system is non-finite countable, for this type of systems we will prove that, as in the finite case, an inequality of exponential concentration, moreover we will prove that the applications of the concentration inequalities for the finite case remain valid for the accounting case, in this sense, the results obtained in this thesis work allow us to extend the existing results in the literature on concentration inequalities in symbolic dynamic systems endowed with a Gibbs measure. In the second part of this thesis we show an application of dynamic systems to the economy, for this we will present a model based on the replicator dynamics to model how the rational decisions of company administrators, who seek to obtain greater benefits by investing in the branches of production that generate higher profits for them, cause a change in prices and/or equilibrium allocations and how this in turn can bring undesirable repercussions for consumers, of whom we will assume are shareholders of the companies, because for In this model we will consider economies of production of private property with branches of production. In addition, using the results of Accinelli and Covarrubias in [1] we show that this model can be considered as a N-population game, this result lays the foundations of the future work that we will discuss in the final part of this thesis, with which it is intended to relate the content of both parts of this work, for which we will introduce the so-called games with potential, which are a special class of games where the incentive of the players to change strategy is given by a potential function, for this class of games in [21] the authors prove that the measures of Gibbs, at least in the sense of statistical physics, appear naturally."