Funcionales de Lyapunov-Krasovskii para sistemas con retardo de tipo neutro en la forma de Hale

Abstract

"Los sistemas con retardos de tipo neutro son sistemas dinámicos que involucran en su descripción matemática estados presentes y pasados, así como derivadas de estados pasados. Existen esencialmente dos formas de representar los sistemas de tipo neutro. La primera es donde las derivadas de los estados presentes y pasados aparecen de manera independiente. La segunda es donde las derivadas de los estados presentes y pasados aparecen mediante la derivada de un operador en diferencia. Esta segunda forma se conoce como sistemas de tipo neutro en la forma de Hale. En la literatura estas dos formas de sistemas neutros se usan indistintamente. Sin embargo, si se estudia con detenimiento se observa que las dos formas no son equivalentes, debido a que sus soluciones respectivas tienen propiedades diferentes. Más concretamente, el problema de valor inicial para la primera forma requiere que se definan la función inicial y su derivada, mientras que el problema de valor inicial para la forma de Hale está bien planteado para funciones iniciales que sólo son continuas, ya que no requiere que la solución sea diferenciable, sino sólo el operador en diferencia. En este trabajo de tesis presentaremos un procedimiento para construir funcionales de Lyapunov-Krasovskii de tipo completo para sistemas lineales con retardo de tipo neutro en la forma de Hale. Esta construcción se realiza sin asumir la diferenciabilidad de las funciones iniciales, como requiere dicha clase de sistemas, pero no así considerada en los trabajos existentes. Las funcionales dependen de una función matricial la cual es la extensión natural de la matriz de Lyapunov para sistemas con retardo de tipo retardado. Las funcionales construidas permiten obtener un resultado converso de Lyapunov para la estabilidad exponencial de los sistemas y estimados exponenciales de las soluciones."

"Neutral-type delay systems are dynamic systems that involve present and past states as well as derivatives of past states in their mathematical description. There are essentially two ways of representing neutral-type systems. The first one is where the derivatives of the present and past states appear in an independent way. The second one is where the derivatives of the present and past states appear by the derivative of a difference operator. This second form is known as neutral delay systems in the Hale’s form. In the literature, these two forms of neutral systems are used interchangeably. However, if it is studied carefully then it is observed that the two forms are not equivalent, due to that their respective solutions have different properties. More precisely, the initial value problem for the first form requires that the initial function and its derivative are defined, while the initial value problem for the Hale form is well-posed for initial functions which are only continuous, since it is not required that the solution is differentiable, but only the difference operator. In this thesis, we will present a procedure for constructing Lyapunov-Krasovskii functionals of the complete type for linear neutral delay systems in the Hale’s form. This construction is carried out without assuming the differentiability of the initial functions, as required for such a class of systems, but not thus considered in the existing works. The functionals depend on a matrix-valued function which is the natural extension of the Lyapunov matrix for retarded type time delay systems. The constructed functionals allow deriving a Lyapunov converse result for the exponential stability of the systems and exponential estimates of the solutions."