Coexistence of stable states in a biparametric family of bimodal maps

Abstract

"Demostramos la existencia de la monoestabilidad y la biestabilidad en el sentido de Lyapunov en dinámicas no lineales discretas y discutimos las propiedades asociadas con este comportamiento. Específicamente, introducimos las condiciones necesarias para asegurar la ocurrencia de biestabilidad dentro de una familia paramétrica de mapeos bimodales, basados en el mapeo diferencia. El mapeo bimodal está definido dentro de una partición regular que consiste en dos subintervalos. En esta investigación, presentamos tres casos de estudio: el primer caso corresponde a mantener fijo la primera moda, mientras que la segunda moda cambia según un parámetro de bifurcación. En el segundo caso, la primera moda cambia según otro parámetro de bifurcación mientras que la segunda moda permanece fija. En el tercer caso, ambos puntos críticos asignados a las modas cambian según un parámetro de bifurcación. Se muestran diagramas de bifurcación para los tres casos de estudios y nos permiten identificar conjuntos invariantes o regiones de atrapamiento en cada subintervalo. Posteriormente, se definen dos conjuntos invariantes para habilitar biestabilidad. Por lo tanto, la monoestabilidad y biestabilidad aparecen en familias paramétricas de acuerdo con el control de conjuntos invariantes y regiones de atrapamiento al variar un parámetro de bifurcación. Los resultados numéricos se alinean con la teoría desarrollada."

"We demonstrate the emergence of monostability and bistability in Lyapunov sense in discrete-time nonlinear dynamics and discuss the properties associated with this behavior. Specifically, we introduce the necessary conditions to ensure the occurrence of the bistability within a parametric family of bimodal maps, based on the difference map. The bimodal map is defined within a regular partition consisting of two subintervals, and we present three case studies: the first case corresponds to keeping the first modal fixed, while the second modal changes according to a parameter. In the second case, the first modal changes according to another parameter while the second modal remains fixed. In the third case, both critical points assigned to the modals change according to a bifurcation parameter. Bifurcation diagrams are shown for three case studies and let us identify invariant sets or trapping regions in each subinterval. Subsequently, two invariant sets are defined to enable the bistability. Therefore, monostability and bistability emerge in parametric families based on the control of invariant sets and trapping regions through variations in a bifurcation parameter. The numerical results are consistent with the developed theory."