Estudio sobre los sistemas iterados de funciones contractivas

Abstract

"Puesto que una tarea importante en geometria fractal es el estudio de los conjuntos invariantes compactos y sus propiedades, con este fin se han desarrollado teorías bien fundamentadas acerca de estos conjuntos. Un conjunto invariante compacto comunmente se le conoce como conjunto fractal. En 1975 B. Mandelbrot fué el primero en dar una definición a estos conjuntos y los define de la manera siguiente: Un conjunto fractal es un conjunto no navío que es autosimilar y cuya dimensión de Hausdorff-Besicovith excede a su dimensión topológica. Posteriormente en 1981, J.E. Hutchinson fue el primer matemático en plantear una teoría para estudiar estos conjuntos en Rn, a los que el llamó estrictamente autosimilares, introduciendo con ello el concepto de sistema iterado de funciones [22]. Posterior a él, M.F. Barnsley generaliza las teorías de J.E. Hutchinson y hacia 1998 populariza el concepto de sistema iterado de funciones [9]. A partir de esto, el Teorema de Existencia y Unicidad para conjuntos fractales propuesto por M.F. Barnsley ha sido objeto de estudio. En esta tesis presentamos el caso especial de la construcción de un conjunto invariante compacto por medio de iteraciones de orden fraccionario, así como una proposición y establecemos cuatro proposiciones entorno a la construcción de sistemas iterados de funciones, y las condiciones a estos sistemas para que los conjuntos invariantes compactos asociados a estas clases de SIF’s presenten la autosemejanza topológica."

"Since an important task in fractal geometry is the study of compact invariant sets and their properties, to that end well-founded theories about these sets have been developed. A compact invariant set is commonly referred to as a fractal set. In 1975, B. Mandelbrot was the first to give a definition to these sets. And it defines it as follows: A fractal set is a non-empty set that is self-similar and whose Hausdorff-Besicovitch dimension exceeds it’s topological dimension [1]. Subsequently in 1981, J.E. Hutchinson was the first mathematician to propose a theory to study these sets in Rn, which he call strictly self-similar, thus introducing the concept of iterated system of functions [22]. After the, M.F. Barnsley generalizes the theories of J.E. Hutchinson and towards 1998 popularizes the concept of iterated system of functions [9]. Starting from this, the existence and uniqueness theorem of M.F. Barnsley has been the subject of study. In this thesis we present the special case of the construction of a compact invariant set by means of fractional order iterations, as well as a proposition and we establish four propositions surrounding the construction of iterated systems of functions, and the conditions to these systems so that the associated compact invariant sets to these classes of SIF’s present the topological self-similarity."